Теория вероятностей

Парадоксы теории вероятностей

 — Какова вероятность, например, что, выйдя на улицу, вы встретите динозавра?

— Пятьдесят на пятьдесят. Либо встречу, либо не встречу.

 Теория вероятностей сравнительно молодой раздел математики. Античные мыслители, конечно, говорили о случайной природе многих явлений, но понимали вероятность в метафизическом смысле, не занимаясь её численным исследованием. Теория вероятностей в современном виде целиком порождение Нового времени (XVII —XVIII вв.), а необходимость её строгой аксиоматизации возникла лишь с развитием квантовой физики и теории наследственности в биологии в начале XX века. Обе теории довольно сильно опираются на вероятностные модели и необходимую математическую базу в 1932 году под них подвёл выдающий советский математик А. Н. Колмогоров.

Но в 17 веке начиналось всё, конечно, не в квантовой физике, до которой было более двухсот лет, а там, где вероятности наглядны: в игорных домах. Например, одна из первых работ по теории вероятностей Гюйгенса называется «О расчетах в азартных играх». Игры всегда занимали лучшие умы :)

Но перейдем к основной части. За 300 с небольшим лет развития теории в ней накопилось огромное количество контринтуитивных результатов и парадоксов, едва ли не больше, чем во всех остальных областях математики вместе взятых. Пусть они и не столь красивы и известны как парадокс Банаха-Тарского об удвоении сферы, но тоже довольны интересны. Некоторые из них я и хочу представить сегодня вашему вниманию.

Помните, что это задачи исследовательские, в них довольно мало числовых данных — главное объяснить природу явления, а поиграться можно с любыми разумными данными (или даже решить в общем виде!). Для решения задач можно и нужно использовать калькулятор, а для некоторых разумно даже написать расчетную программу.

Задачи предложены не в порядке возрастания сложности.

Для начала наблюдения еще времен Якоба Бернулли:

1. Парадокс игры с неравносильными противниками. Вы играете турнир против двух игроков: сильного и слабого. Для победы вам надо выиграть подряд две партии из трёх. Как выгоднее играть: слабый — сильный — слабый или сильный — слабый — сильный?

2. Парадокс раздела ставки. Два игрока играют в безобидную игру (то есть шансы на выигрыш одинаковы) и они договорились, что то, кто первым выиграет 6 партий, получит весь приз. Пусть по некоторым обстоятельствам игру пришлось прекратить, до того, как один из них выиграл приз. Например, первый игрок выиграл 5 партий, второй — 3. Как справедливо следует разделить приз в этом случае? Большинство математиков XVII —XVIII вв. считали, что в отношении 5:3, Тарталья считал, что 3:1, хотя Паскаль и Ферма установили, что 7:1. Кто из них прав?

3. Парадокс игры в кости. При бросании двух игральных костей и 9, и 10 можно получить двумя разными способами: 9 = 3 + 6 = 4 + 5 и 10 = 4 + 6 = 5 + 5. В задаче с тремя костями и 9, и 10 получаются шестью способами. Почему тогда 9 появляется чаще, когда бросают две кости, а 10 — когда бросают три?

4. Парадокс де Мере. Найдите вероятность, что при четырех бросаниях одной игральной кости, по крайней мере, один раз выпадет единица. Можно предположить, что при 24 бросаниях двух костей вероятность выпадения двух единиц одновременно должна быть такая же — ведь вероятность выпадения двух единиц сразу в 6 раз меньше вероятности выпадения единицы на одной кости, а 24 в 6 раз больше 4. Верно ли это?

5. Парадокс де Муавра. По закону больших чисел Бернулли отношение выпадений герба или решки к общему числу попыток при большом числе бросаний стремится к 1/2. Или, другими словами, количество выпадений орлов примерно равно количеству выпадений решек. А как при этом изменяется с ростом (четного) числа бросаний вероятность того, что число гербов в точности равно числу решек?

А теперь немножко статистики тех же времен:

6. Парадокс смертности. Эдмунд Галлей (открывший известную комету) в 1693 году составил таблицу смертности, положившую начало математической теории страхования жизни. По этой таблице средняя продолжительность жизни равна 26 годам, и вместе с тем с равными шансами можно умереть до 8 лет и прожить больше 8 лет. Нет ли у Галлея ошибки?

И немного интересных наблюдений уже за «реальным миром»

7. Парадокс спортлото. Большинство участников лотерей (в которых выигрыш распределяется поровну между всеми победителями) обычно не ставят на «слишком симметричные» комбинации. Игроки считают, что, как правило, выигрывают несимметричные комбинации. В действительности выгоднее ставить на наиболее симметричные комбинации именно потому, что…. Почему? Уважаемые Знатоки, у вас минута на обсуждение.

8. Парадокс Монти Холла. В телевикторине, ведущим которой был Монти Холл, в финале участнику предлагалось выбрать одну из трех дверей. За одной из них был крупный приз, за двумя другими — ничего. Пока ничего особенного — вероятность угадать 1/3, но самое интересное начинается после выбора игрока: ведущий открывает одну из двух оставшихся дверей и показывает, что за ней ничего нет (он всегда открывает «пустую» дверь), после чего предлагает игроку поменять выбор. Повысит ли смена выбора шансы на выигрыш? Через много лет после викторины эта задача не хуже, чем «не взлетит», взорвала интернет в своё время. И, как обычно, выяснилось, что большинство людей — невменяемые идиоты. Но ведь это не про вас, читатели?

9. Парадокс с подарками. Игорь и его друзья решили сделать друг другу подарки на Новый год следующим образом. Каждый приносит подарок, затем подарки перемешиваются и случайно распределяются среди участников. Считается, что вероятность получения кем-то собственного подарка очень мала. А какова на самом деле вероятность хотя бы одного совпадения? Сравните её с вероятностью «хорошего» распределения.

10. Парадокс дней рождения. Как вы думаете, сколько людей должно быть в определённой группе, чтобы по крайней у двоих из них дни рождения (будем иметь ввиду не високосный год) совпадали с вероятностью 1? Ответ очевиден — в группе должно быть 366 человек. А стоит ли заключить пари со ставками 1 к 1, что в 1 «А» классе школы 218 в будущем году будет пара учеников с совпадающим днём рождения? А хватит ли трех набранных первых классов, чтобы в них нашлась пара с совпадающим днем рождения с вероятностью более 0,999?

11. Парадокс второго туза. Леонид сказал, что у него двое детей и что один их них недавно женился. Какова вероятность того, что второй ребенок Леонида тоже мальчик? А если Леонид еще уточнил, что недавно женился младший ребенок?

А вот это уже ближе к современности, для полноценной разгадки следует знать аксиоматику, но общую причину можно понять и так.

12. Парадокс Бертрана. Для некоторой окружности случайным образом выбирается хорда. Найти вероятность того, что эта хорда длиннее стороны правильного треугольника, вписанного в эту окружность. Хорошо известны три абсолютно правильных решения этой задачи, дающих разные ответы: 1/2, 1/3 и 1/4. Придумайте хотя бы первые два и объясните, как так вышло. А если точно понять в чем тут дело, то легко построить метод, дающий любой заданный ответа а) на (0;1) б) на [0;1].

13. Парадокс точности измерения. Предположим, что нам надо найти длину двух стержней с помощью двух измерений. Прибор, которым мы меряем длину, дает результат со случайной ошибкой, имеющей стандартное отклонение s. Парадоксально, но измерение каждого стержня по отдельности не является лучшим способом. Стандартное отклонение результата будет меньше, если сначала измерить общую длину L стержней, приложив конец одного стержня к концу другого, а затем положить стержни рядом и найти разницу их длин d. Тогда приближенные длины стержней соответственно равны (L + d) / 2 и (L − d) / 2. Найдите стандартное отклонение этих длин и поясните, откуда взялась дополнительная точность?

И напоследок с уклоном в другие разделы математики: логику и теорию игр:

14. Парадокс логики. Предположим, что мы хотим доказать утверждение «все вороны черные». Каждая встреченная нами черная ворона подтверждает гипотезу (т.е. увеличивает вероятность того, что утверждение верное). С другой стороны, исходное утверждение можно преобразовать в логически эквивалентное ему утверждение «все нечерные предметы — не вороны». Очевидно, что существование любого объекта, подтверждающего вторую гипотезу, должно также подтверждать и первую. Таким образом, можно вообще не искать ворон, а оглядеться в комнате и найти примеры всех нечерных объектов. Насколько это разумно?

15. Парадокс двух конвертов. Два игрока получают по конверту с деньгами, причем игрокам известно, что в одном из них денег в два раза больше, чем в другом. Каждый игрок вскрывает свой конверт и узнает, сколько там денег. После чего игроки по обоюдному согласию могут обменяться конвертами. Выгоден ли такой обмен? Максимальная сумма денег, которая могла бы быть теоретически в конверте игрокам неизвестна.

Поучительная история про математика, проигравшего велосипед. Однажды математик по профессии поспорил со случайным встречным: оппонент говорил, что следующие 100 человек, прошедшие мимо них, будут мужчинами, математик же утверждал, что этого не будет. Причем математик ставил на кон велосипед против всего 100 рублей своего оппонента.

Логика математика была очень проста: есть всего 1 шанс из около 1267 октиллионов, то есть, по его мнению, он ничем не рисковал. Логика оппонента была тоже по-своему безупречна: 100 рублей - невелика потеря, а вот возможность, пусть призрачная, выиграть велосипед, того стоит. 

Спор решился не в пользу математика, потому что как раз в этот момент по их улице прошел батальон солдат.

Автор: Игорь Эльман